Izris krožnice na zemljevidu

Predposatvimo, da je zemlja krogla.

Podano imamo središče krožnice $B = (\phi, \lambda)$, latituda in longituda, in polmer $c$. Izračunati moramo točke na krožnici $A = (\phi', \lambda')$ za kote $\beta = 0, k, ..., 2\pi$, kjer je $k$ želena natančnost.

V geometriji na krogli kote in razdalje merimo v radianih. Razdalja med dvema točkama je kot loka skozi ti dve točki. Torej, če imamo polmer krožnice $c$ podan v kilometrih $d$, ga pretvorimo v radiane $c = \frac{d}{R}$, kjer je $R = 6371$ polmer zemlje.

$A$ izračunamo z uporabo naslednjih enačb:

$$ \begin{aligned} \phi' &= \arcsin(\sin{\phi} \cos{c} + \cos{\phi} \sin{c} \cos{\beta})\\ \Delta &= \arctan\left(\frac{\sin{\beta} \sin{c} \cos{\phi}}{\cos{c} - \sin{\phi} \sin{\phi'}}\right)\\ \lambda' &= \lambda + \Delta \end{aligned} $$

Za izračun $\arctan(y / x)$ uporabimo funkcijo atan2. Ta zagotovi, da je $\Delta$ za $\pi < \beta < 2\pi$ negativen. Drugače bomo izrisali le polovico krožnice.

Krožnica na zeljevidu zaradi projekcje vedno ne bo okrogla.

Izpeljava

Izpeljava temelji na trikotnikih na krogli. Potrebovali bomo kosinusni izrek za stranice in eno izmed Napierjevih enačb. Slednjo lahko uporabimo le, če je imamo pravokotni trikotnik.

$$ \begin{aligned} \cos{c} &= \cos{a} \cos{b} + \sin{a} \sin{b} \cos{\gamma}\\ \cos{\gamma} &= \frac{\cos{c} - \cos{a} \cos{b}}{\sin{a} \sin{b}} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \sin{a} &= \sin{\alpha} \sin{c}\\ \sin{\alpha} &= \frac{\sin{a}}{\sin{c}} \end{aligned} $$

Prav tako bomo uporabili enakosti:

$$ \begin{aligned} \sin(\pi / 2 - \theta) &= \cos(\theta)\\ \cos(\pi / 2 - \theta) &= \sin(\theta) \end{aligned} $$

Latituda

Skozi severni pol $N$ in točko $B$ poteka poldnevnik. Razdalja med $B$ in presečiščem poldnevnika in ekvatorja $D$ je latituda $\phi$, razdalja med severnim polom $N$ in $B$ je $\frac{\pi}{2} - \phi$. Podobno velja za $A$.

Za izračun $\phi'$ uporabimo kosinusni izrek nad trikotnikom $BNA$. Dolžina stranice $NB$ je $\frac{\pi}{2} - \phi$, dolžina stranice $BA$ je $c$, vmesni kot je $\beta$, izračunamo dolžino stranice $NA$:

$$ \begin{aligned} \cos(\pi / 2 - \phi') &= \cos(\pi / 2 - \phi) \cos{c} + \sin(\pi / 2 - \phi) \sin{c} \cos{\beta}\\ \sin{\phi'} &= \sin{\phi} \cos{c} + \cos{\phi} \sin{c} \cos{\beta}\\ \phi' &= \arcsin(\sin{\phi} \cos{c} + \cos{\phi} \sin{c} \cos{\beta}) \end{aligned} $$

Longituda

Za izračun dolžine $\Delta$ bomo uporabili Napierjevo enačbo nad trikotnikom $DNE$:

$$ \begin{aligned} \sin{\Delta} &= \sin{\nu} \sin(\pi / 2)\\ \sin{\Delta} &= \sin{\nu}\\ \Delta &= \nu \end{aligned} $$

Ker je $\sin(\pi/2) = 1$ sta dolžina $\Delta$ in kot $\nu$ enaka. Torej, lahko namesto $\Delta$ lahko izračunamo $\nu$.

Uporabimo preoblikovan kosinusni izrek nad trikotnikom $BNA$. Sedaj imamo vse dolžine stranic in iščemo $\cos{\nu}$:

$$ \begin{aligned} \cos{\nu} &= \frac{\cos{c} - \cos(\pi / 2 - \phi) \cos(\pi / 2 - \phi')}{\sin(\pi / 2 - \phi) \sin(\pi / 2 - \phi')}\\ \cos{\nu} &= \frac{\cos{c} - \sin{\phi} \sin{\phi'}}{\cos{\phi} \cos{\phi'}}\\ \end{aligned} $$

Uporabimo Napierjevo enačbo nad trikotnikom $BCA$:

$$ \sin{b} = \sin{\beta} \sin{c} $$

Uporabimo preoblikovano Napierjevo enačbo nad trikotnikom $CNA$, vstavimo enačbo za $\sin{b}$, iščemo $\sin{\nu}$:

$$ \begin{aligned} \sin{\nu} &= \frac{\sin{b}}{\sin(\pi / 2 - \phi')}\\ \sin{\nu} &= \frac{\sin{b}}{\cos{\phi'}}\\ \sin{\nu} &= \frac{\sin{\beta} \sin{c}}{\cos{\phi'}}\\ \end{aligned} $$

Uporabimo povezavo med $\sin$, $\cos$ in $\tan$ in vstavimo $\cos{\nu}$ in $\sin{\nu}$:

$$ \begin{aligned} \tan{\nu} &= \frac{\sin{\nu}}{\cos{\nu}}\\ \tan{\nu} &= \frac{\frac{\sin{\beta} \sin{c}}{\cos{\phi'}}}{\frac{\cos{c} - \sin{\phi} \sin{\phi'}}{\cos{\phi} \cos{\phi'}}}\\ \tan{\nu} &= \frac{\sin{\beta} \sin{c} \cos{\phi} \cancel{\cos{\phi'}}}{\cancel{\cos{\phi'}} \cdot {\cos{d} - \sin{\phi} \sin{\phi'}}}\\ \tan{\nu} &= \frac{\sin{\beta} \sin{c} \cos{\phi}}{\cos{c} - \sin{\phi} \sin{\phi'}}\\ \nu &= \arctan\left(\frac{\sin{\beta} \sin{c} \cos{\phi}}{\cos{c} - \sin{\phi} \sin{\phi'}}\right) \end{aligned} $$

Alternativa

$\nu$ lahko izračunamo tudi na naslednja načina:

$$ \begin{aligned} \nu &= \arccos\left(\frac{\cos{c} - \sin{\phi} \sin{\phi'}}{\cos{\phi} \cos{\phi'}}\right)\\ \nu &= \arcsin\left(\frac{\sin{\beta} \sin{c}}{\cos{\phi'}}\right) \end{aligned} $$

Pri tem moramo paziti, da je lahko zaradi računske napake izračunan $\cos{\nu}$ in $\sin{\nu}$ večji od 1 ali manjši od -1. Torej moramo vednost pred izračunom $\arccos$ ali $\arcsin$ omejiti na ta razpon. $\Delta$ je potem enak $\nu$ če je $0 < \beta < \pi$ in $-\nu$ če je $\pi < \beta < 2\pi$.